Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются макро загрязнения, и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора. Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что можно замереть от восхищения. Одним из таких исследований является изучение фракталов в природе. Самым известным примером фракталов в природе является снежинка.
Впервые в природе обнаружена микроскопическая фрактальная структура
Вы, несомненно, заметили приятную спираль их чешуи, за которой прячутся семена. Они плотно закрываются, когда сыро или холодно, а затем раскрываются, когда наступает оптимальная погода для распространения семян по ветру. Опять же, фрактальная конструкция вызвана ускоренным ростом. Это естественный пример логарифмической или равноугольной спирали.
У многолистного алоэ Aloe polyphylla и некоторых видов эхеверии есть веские причины для вздернутых, свернутых листьев: они помогают отводить дождевую воду к сердцевине растения и не дают верхним листьям затенять нижние. В середине 00-х годов один математик выдвинул гипотезу, что спиральный узор как на растениях, так и на отпечатках пальцев возникает по одной и той же причине — для снятия стресса. По его словам, силы, действующие в противоположных направлениях, заставляют кожу и ткани растений прогибаться внутрь по мере роста.
Снежинка могла бы продолжаться так вечно, увеличиваясь до размеров самой Земли, если бы не перестала накапливать влагу и, в конце концов, не растаяла. Самый известный фрактальный узор снежинки известен как снежинка Коха, возникающая из одного равностороннего треугольника, образующего другой, третий и так далее. Это один из самых ранних описанных фракталов.
Зная об энергетической конструкции , о её взаимосвязи с телом, мы сможем найти целостный подход к профилактике и лечению, раскрыть неиспользуемый потенциал. Простой пример: известный всем эффект «плацебо» основан на силе веры самого человека. Другими словами, просто переключив внимание с негатива на мысли о выздоровлении, человек изменяет настройки своего организма.
Состояние духа больного, его доверие или недоверие врачу, глубина его веры и надежды на исцеление или, наоборот, психическая депрессия, вызванная неосторожными разговорами врачей в присутствии больного о серьезности его болезни, глубоко определяют исход болезни. Психотерапия, состоящая в словесном, вернее, духовном воздействии врача на больного — общепризнанный, часто дающий прекрасные результаты метод лечения многих болезней». Новых Заключение Становится очевидным, что фрактальность присуща всей живой и неживой природе, в том числе и телу человеку, как части материального мира.
То есть весь мир материи подчинён единым законам. По ним он живёт, развивается, преобразуется. Это как прописанная программа.
Например, Молекула ДНК или РНК у вирусов несёт в себе код — программу, согласно которой происходит развитие и функционирование живого организма. Одна маленькая молекула задаёт сложное многообразие форм и жизнедеятельности! При этом одна лишь клетка, по свойству голограммы, содержит информацию обо всём организме в целом.
Из этого можно сделать вывод, что всё функционирует как единая программа. А наличие программы предполагает наличие программиста, то есть того, кто её прописал. И ни одно материальное существо или объект не может выйти за рамки этой системы или матрицы.
Человек выгодно отличается от всего животного мира тем, что в нём есть духовная составляющая: Душа и Личность. Ещё совсем недавно, говоря «человек» подразумевалось лишь физическое тело. Теперь многие учёные соглашаются, что человек — это гораздо более сложная система.
Просто поместить человека в таблицу биологических видов было недостаточно, так как этим ограничивается процесс самопознания. Исконные знания позволяют говорить о человеке, как о духовном существе. Познание духовной природы открывает прекрасные возможности для каждого человека и для общества в целом.
Удивительно, но, похоже, это всего лишь игра случая, эволюционный каприз. Ученые провели эксперимент, в котором генетически модифицировали цианобактерии, лишив их цитратсинтазу способности собираться во фрактальные структуры. Оказалось, что это никак не повлияло на жизнедеятельность бактерий. Чтобы разобраться в этой загадке, исследователи заглянули в прошлое. Используя специальные методы, они реконструировали эволюционную историю цитратсинтазы и обнаружили, что фрактальная структура возникла внезапно, в результате нескольких случайных мутаций. В других линиях цианобактерий эта особенность быстро исчезла, но у одного вида она сохранилась до наших дней. Новый взгляд на эволюцию Открытие молекулярного фрактала заставляет нас переосмыслить роль случая в эволюции.
Оказывается, даже такие сложные и изысканные структуры могут возникать без какой-либо видимой цели, просто как результат случайных событий. Это открывает перед нами увлекательную перспективу: возможно, в мире биомолекул скрывается еще множество удивительных форм и узоров, ждущих своего открытия. И кто знает, какие еще сюрпризы готовит нам природа в своей бесконечной игре со случайностью и порядком. Автор не входит в состав редакции iXBT.
Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев. А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое из-за давности лет , но демо можно скачать и запустить на компьютере. Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.
Любопытные фото природы, которые успокоят
До сих пор ученым не встречались подобные молекулярные образования, сохраняющие самоподобие на разных масштабных уровнях. Уникальная сборка Изображение белковой молекулы было получено с помощью электронного микроскопа. В процессе своего роста фрактал образует внутри себя треугольные пустоты, что не делает ни одна из ранее известных белковых структур. Такая особенность обуславливается тем, что различные белковые цепи в разных положениях по-разному взаимодействуют друг с другом.
XX века ученые стали находить непривычную, но вполне определенную упорядоченность, образуемую путем бесконечного в принципе повторения какой-либо исходной формы во все уменьшающемся масштабе по определенному алгоритму, инструкции или формуле фрактальные закономерности. В современной науке фрактальность поведения сложных нелинейных систем считается их неотъемлемым свойством как строго доказанный математический факт. Оказывается, что если система достаточно сложна, то она в своем развитии обязательно проходит через чередующиеся этапы устойчивого и хаотического развития. Причем сценарии перехода от порядка к хаосу и обратно поддаются классификации, и вновь все многообразие природных процессов распадается на небольшое число качественно подобных. Один из таких сценариев может быть описан с помощью наглядного геометрического образа, рисунка, являющегося фракталом. Речь идет о так называемом логистическом отображении, впервые использованном П. Ферхюльстом в 1838 г.
Согласно этой модели, общее число х n особей n-го поколения пропорционально числу х n-1 особей предыдущего поколения с коэффициентом пропорциональности, линейно убывающем в зависимости от этого числа особей. Подобной динамикой обладает и изменение банковского вклада по закону сложного процента, когда начисление линейно зависит от самого вклада. Более того, оказалось, что свойства логистического отображения универсальны, они характерны для динамики любой системы, поведение которой описывается гладкой функцией вблизи ее минимума. Развитие систем, описываемых логистическим отображением, очень напоминает античные натурфилософские и мифологические сценарии рождения мира. Сначала, при некотором значении коэффициента пропорциональности, в системе имеется только одно устойчивое положение равновесия - Единое еще не начало свой путь творения. При изменении коэффициента наступает момент, когда точка равновесия раздваивается, возникают два устойчивых состояния, в которых система пребывает по очереди, то в одном, то в другом, шаг за шагом во времени. Потом каждая из этих точек вновь раздваивается, и ситуация повторяется, сохраняя общий рисунок. Рано или поздно множество точек равновесия плотно заполняют все множество состояний, система переходит к хаосу, полностью разрушая свою структуру. Но затем, при дальнейшем росте параметра, из хаоса вновь возникает некоторое конечное число упорядоченных состояний, которые в конце концов "схлопываются" в единственное, и все начинается сначала. В математической модели этого явления обнаружено множество подобных, скейлинговых элементов; эти свойства в науке носят названия универсальности Фейгенбаума.
Здесь переменная z и константа с - комплексные числа, отображаемые точками на координатной плоскости, где и формируется пространственный образ множества. Работа алгоритма состоит в последовательном вычислении сумм, причем в формулу каждый раз подставляется значение z, полученное на предыдущем шаге. Ясно, что в этом случае алгоритм сводится к бесконечной формуле... Для любого значения числа с возможен один из двух результатов вычислений. Либо сумма постоянно растет - быстрее или медленнее, но рано или поздно "улетая" в бесконечность, либо она остается конечной, сколько бы шагов ни сделал алгоритм на практике берется не более 1000, что вполне достаточно. По мере роста числа шагов алгоритма выявляются новые и новые причудливые и стройные фрактальные структуры, неисчерпаемое богатство форм. А самое удивительное в том, что многие из них напоминают различные природные объекты: инфузории и снежинки, морские коньки и галактики, раковины и облака... Вот оно, самоподобие! Фрактальная геометрия природы выражается в том, что принцип самоподобия в приближенном виде выполняется во многих проявлениях: в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и иерархической организации живых систем хотя нет ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Фрактальные структуры порождают процессы с обратной связью, когда одна и та же операция выполняется снова и снова, и результат одной операции является начальным значением для следующей.
Проблемы, связанные с итерациями, возникают при изучении эволюции любой системы в любой области знания, от астрономии до биологии и экологии. Например, прочитать генетическую информацию ДНК человека в принципе возможно, не расшифровывая последовательно год за годом три миллиарда буквенных обозначений, а установив ключ, лежащий в основе кода. Несмотря на внешнее разнообразие встречающихся в природе самоподобных структур, все они обладают общей количественной мерой - фрактальной размерностью, характеризующей скорость увеличения элементов фрактала с увеличением интервала масштабов, на котором он рассматривается. Сложные биологические структуры и сигналы могут быть численно охарактеризованы всего лишь одним параметром - показателем фрактальной размерности 1993г.
Посмотрите потрясающие примеры фракталов в природе. Морские раковины.
Объекты, которые мы называем «красивыми» или «эстетическими», являются важной частью нашего человечества. Даже самые старые известные образцы наскального и наскального искусства выполняли эстетические, а не утилитарные роли.
Хотя эстетику часто считают плохо определенным неопределенным качеством, исследовательские группы, такие как моя, используют сложные методы для ее количественной оценки - и ее влияние на наблюдателя. Мы находим, что эстетические изображения могут вызывать ошеломляющие изменения в теле, включая радикальное снижение уровня стресса у наблюдателя. По оценкам, только стресс на работе обходится американским предприятиям в миллиарды долларов в год, поэтому изучение эстетики несет огромную потенциальную пользу обществу. Исследователи распутывают то, что делает конкретные произведения искусства или природные сцены визуально привлекательными и снимающими стресс, и одним из важнейших факторов является наличие повторяющихся паттернов, называемых фракталами. Являются ли фракталы ключом к тому, почему работа Поллока очаровывает? В конце концов, они визуальные эксперты. Моя исследовательская группа воспользовалась этим подходом вместе с Джексоном Поллоком, который достиг пика современного искусства в конце 1940-х годов, выливая краску прямо из банки на горизонтальные полотна, которые лежали на полу его студии. Хотя среди ученых Поллока разгорелись битвы за значение его разбрызганных узоров, многие согласились с тем, что у них органическое, естественное чувство. Мое научное любопытство всколыхнулось, когда я узнал, что многие природные объекты являются фрактальными, с рисунками, которые повторяются при все более мелких увеличениях.
Например, подумайте о дереве. Сначала вы видите большие ветви, растущие из ствола. Затем вы видите меньшие версии, растущие из каждой большой ветви. Когда вы продолжаете увеличивать изображение, появляются все более и более тонкие ветви, вплоть до самых маленьких веточек. Другие примеры природных фракталов включают облака, реки, береговые линии и горы. В 1999 году моя группа использовала методы компьютерного анализа рисунков, чтобы показать, что картины Поллока столь же фрактальны, как и рисунки в естественных пейзажах.
Фракталы в природе (53 фото)
Облака - это не сфера, горы - это не конусы, линия берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, - задачи исследования морфологии аморфного. Математики однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать. Если мы описываем увиденное и известное по опыту на языке логики - это наука; если же предоставляем в формах, внутренние взаимосвязи которых недоступны нашему сознанию, но которые интуитивно воспринимаются как осмысленные, - это искусство. И для искусства, и для науки общим является увлечение чем-то стоящим выше личного, свободным от условного. В космическом хаосе, говоря словами Гете, есть "законы, охраняющие сокровища жизни, которыми украшает себя Вселенная".
На каждой новой ступени организации материи вступают в силу новые правила. Это не означает, что известные до сих пор законы природы неверны, но это лишь означает, что трудно обнаружить все скрытое в них. Приведем примеры. Долгосрочный прогноз солнечной системы невозможен уравнения являются неинтегрируемыми. Невозможность осуществления до настоящего времени управляемого термоядерного синтеза связана с тем, что нет адекватного представления о хаотическом движении заряженных частиц в системе магнитных линз. Изучение развития яиц насекомых показывает, что морфогенез невозможно понять только из знания молекулярного строения соответствующего генома. Нелинейные процессы приводят к ветвлению.
Система может выбрать ту или иную ветвь, последствия выбора однозначно предсказать невозможно, поскольку для каждого из этих решений характерно усиление отклонений. Хотя в каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции генетическая информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают множество различных исходов, но наш мир имеет одну единственную историю. Хаос - фундаментальное понятие философии, социологии и естествознания. Оно играло существенную роль уже в мировоззрении философов древности.
По их представлениям хаос - состояние материи при отсутствии всех факторов, влияющих на нее и позволяющих выявить ее свойства и структуру. При действии разных факторов из хаоса может рождаться все, что состовляет строение Мироздания, т. Таким образом, Хаос противопоставляется Порядку. Отсюда и представление о хаосе как о беспорядочном движении. В физику понятие хаоса было введено Л. Больцманом и Дж. В качестве меры хаотичности движения они использовали понятие энтропии.
В странном мире хаоса и турбулентности начиная с 70-х г. XX века ученые стали находить непривычную, но вполне определенную упорядоченность, образуемую путем бесконечного в принципе повторения какой-либо исходной формы во все уменьшающемся масштабе по определенному алгоритму, инструкции или формуле фрактальные закономерности.
Дается ее определение и раскрывается сущность. Приводятся примеры пользы данной науки, а также в различных сферах и профессиях человеческой деятельности. Рубрика: 01. Фрактальная геометрия природы — это одно из важнейших открытий человечества, которое повлияло на совершенно разные виды деятельности человека. В начале своей истории фрактальная геометрия являлась математическим открытием, но в наши дни принципы фрактальной геометрии используются и в дизайнерском искусстве, и в медицинской деятельности. Фрактал fractus в переводе с латинского означает «дробленый, сломанный, разбитый» [1].
В науке фрактал — это такое множество, которое обладает свойством самоподобия, такой объект, приближение которого приведет к видению подобных частиц. Огромный вклад в изучение фрактальной геометрии внес Бенуа Мандельброт, бельгийский математик. Несмотря на то, что основная доля открытий в данной науке принадлежит этому ученому, все же во многом он обязан своим предшественникам, которые положили начало развития данной науки. Первым ученым, который задумался о том, что в хаотичности есть свой определенный порядок, стал Вейерштрасс. В 1872 году ученый представил свою работу в Королевской Академии наук в Пруссии.
От них отходят более мелкие ветки. У своего основания они имеют ту же слегка деформированную цилиндрическую форму. Как тот же ствол. А потом и от них отходят куда более мелкие ветки. И так далее.
Дерево воспроизводит само себя, на каждом уровне. При этом его структура постоянно усложняется, но остается себе подобной. Это ли не фрактал? Кровообращение А вот кровеносная система человека. Она тоже имеет фрактальную структуру. Есть артерии и вены. По одним из них кровь подходит к сердцу вены , по другим поступает от него артерии. А далее, кровеносная система начинает напоминать то самое дерево, о котором мы говорили выше. Сосуды, сохраняя свое строение, становятся все более тонкими и разветвленными. Они проникают в самые отдаленные участки нашего тела, доносят кислород и другие жизненно важные компоненты до каждой клетки.
Это типичная фрактальная структура, которая воспроизводит саму себя все в более и более мелких масштабах. Стоки реки «Из далека долго течет река Волга». На географической карте это такая голубая извилистая линия. Ну, притоки крупные обозначены. Ока, Кама. А если мы уменьшим масштаб? Выяснится, что притоков этих намного больше. Не только у самой Волги, но и у Оки и Камы. А у них есть и свои притоки, только более мелкие. А у тех — свои.
Возникает структура, удивительно похожая на кровеносную систему человека. И опять возникает вопрос. Какова протяженность всей этой водной системы? Если измерять протяженность только основного русла — все понятно. В любом учебнике можно прочитать. А если все измерять? Опять в пределе бесконечность получается. Наша Вселенная Конечно, в масштабах миллиардов световых лет, она, Вселенная, устроена однородно. Но давайте посмотрим на нее поближе. И тогда мы увидим, что никакой однородности в ней нет.
Где-то расположены галактики звездные скопления , где-то — пустота. Почему распределение материи подчиняется иррегулярным иерархическим законам. А что происходит внутри галактик еще одно уменьшение масштаба. Где-то звезд больше, где-то меньше. Где-то существуют планетные системы, как в нашей Солнечной, а где-то — нет. Не проявляется ли здесь фрактальная сущность мира? Сейчас, конечно, существует огромный разрыв между общей теорией относительности, которая объясняет возникновение нашей Вселенной и ее устройством, и фрактальной математикой. Но кто знает? Возможно, это все когда-то будет приведено к «общему знаменателю», и мы посмотрим на окружающий нас космос совсем другими глазами.
Nature 2024. Ученые, изучая структуру цитратсинтазы, были поражены изображениями, полученными с помощью электронного микроскопа. Вместо ожидаемой регулярной решетки молекул они увидели завораживающий фрактальный узор. Секрет асимметрии Разгадка тайны фрактального белка кроется в его асимметрии. Обычно при самоорганизации белковых молекул каждая цепь занимает одинаковое положение относительно своих соседей. Это приводит к формированию симметричных, упорядоченных структур. Но в случае с цитратсинтазой все иначе. Различные белковые цепи взаимодействуют друг с другом по-разному, создавая сложный и непредсказуемый узор, подобный треугольнику Серпинского. Эволюционная игра Зачем же цианобактерии понадобился фрактальный фермент? Удивительно, но, похоже, это всего лишь игра случая, эволюционный каприз. Ученые провели эксперимент, в котором генетически модифицировали цианобактерии, лишив их цитратсинтазу способности собираться во фрактальные структуры. Оказалось, что это никак не повлияло на жизнедеятельность бактерий.
Фракталы: что это такое и какие они бывают
Посмотрите потрясающие примеры фракталов в природе. Давай лучше рассмотрим дизайн фракталов в природе и науке, чтобы вернуть себе веру в волшебство. Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе.
Открытие первой фрактальной молекулы в природе — математическое чудо
Анимация фракталов, изменение фракталов в пространстве, медитация, фрактальная графика. Одна из вещей, которые привлекли меня к фракталам, это их повсеместное распространение в природе. Международная группа ученых обнаружила первую в природе молекулу, которая является регулярным фракталом. Одна из вещей, которые привлекли меня к фракталам, это их повсеместное распространение в природе. В ней он впервые заговорил о фрактальной природе нашего многомерного мира.
Исследовательская работа: «Фракталы в нашей жизни».
Часто говорят, что мать-природа чертовски хороший дизайнер, а фракталы можно рассматривать как принципы дизайна, которым она следует, собирая вещи вместе. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств. Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ. ФРАКТАЛЫ.
Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным. Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась. При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.
Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров — завихрений. Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа Gaston Maurice Julia приложение 6. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Классификация фракталов Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это: - геометрические фракталы; - стохастические фракталы. Геометрические фракталы Фракталы этого класса самые наглядные. Именно с них и начиналась история фракталов.
Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной или поверхности в трехмерном случае , называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе.
Ковёр Серпинского в трёхмерном пространстве превратится в кубический многогранник. По такому же принципу можно смоделировать и трёхмерный треугольник Серпинского. В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Полученный геометрический фрактал напоминает дерево, поэтому его и назвали деревом Пифагора. Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Знакомым с алгоритмами читателям дерево Пифагора может напомнить другое, бинарное дерево.
В целом, бинарный поиск напоминает принцип Кантора, где на каждой итерации получается вдвое больше разветвлений отрезков. Всё это — ещё одна иллюстрация самоподобия, о котором мы говорили ранее. Алгебраические фракталы Алгебраические фракталы, в отличие от геометрических, основываются на формуле, а не на фигурах, но также рекурсивно итерируются. Выглядят они ещё более причудливо, чем те, что мы рассмотрели выше. Остановимся на комплексных числах. Вы наверняка знаете, что извлекать квадратный корень из отрицательных чисел нельзя — это следует из того, что любое отрицательное число в квадрате является положительным. Логика железная и справедливая, но лишь для действительных чисел. Вот здесь-то и ломается привычная арифметика.
Нас ведь с пятого класса учили, что из отрицательных чисел квадратный корень не извлечь», — скажете вы и будете правы! Да, такая запись на первый взгляд кажется парадоксальной, и многие математики на первых порах с подозрением относились к подобной «магии». Но именно она в XVI веке помогла решить некоторые проблемные кубические уравнения. А потом комплексные числа нашли применение и в других областях, например в тригонометрии. Возвращаемся к нашему Мандельброту. Небольшая шпаргалка, чтобы напомнить, о чём шла речь: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Суть фрактала Мандельброта та же, что и у предыдущих: на каждой новой итерации мы используем значение функции из предыдущего шага. В результате получаются невероятные картины! Приближаясь к любым координатам множества Мандельброта, вы увидите всё новые и новые бесконечные узоры, которые напоминают изначальный вариант.
На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале. Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев. А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене.
К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое из-за давности лет , но демо можно скачать и запустить на компьютере. Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется.
Фрактальные формы ярко проявляются в строении ананасов, цветной капусты романеско, а также в спиралевидных бутонах цветов. Повторяются в себе множество раз формы кораллов, морских звезд, ракушек, улиток. Еще больше фракталов создано неживой природой: Снежинки и морозные узоры на стекле построены кристаллическими структурами, повторяемыми много раз. В молнии раскрывается структура, в которой каждая ветвь — это копия всей формы. Береговые линии, горные хребты, географические границы, русла рек, разветвления их дельт повторяются множество раз. В воде повторяются узоры волн, водоворотов, течений. Большинство природных фракталов отличаются неполным и неточным повторением. В малом масштабе они исчезают, потому что ограничены размерами живой клетки или молекул.
О влиянии природных фракталов пишут авторы сайта Mindfule Ecotourism , посвященного экотуризму. Они утверждают, что самоподобные ветвящиеся шаблоны, на которые мы смотрим, повторяют строение нашего мозга, легких, сосудистой системы, позвоночника, нервной системы.
Случайность как художник: учёные обнаружили первую фрактальную молекулу
Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными. В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны. Пятая глава книги «Фрактальная геометрия природы» посвящена, на первый взгляд, довольно простому вопросу: «Какова длина береговой линии Британии? Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера. Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы.
Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей.
А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности. Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа. На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.
Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.
В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия. В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг.
Вы можете добавлять их на холст, масштабировать чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.
Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS. Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе. XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.
Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета. Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве.
Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры.
Если в процессе итерации это повторение каких-либо действий, не приводящее к вызовам самих себя случайным образом менять любые параметры, получится такой фрактал. Именно поэтому такой тип множества не визуализируется вручную — только в программе. Пожалуй, это самый «виртуозный» вид фракталов. Причём это не фракталы в чистом виде: авторы заимствуют понятия и концепты: отсюда название.
Концептуальный фрактал и вовсе может состоять из нескольких видов. Фракталы в природе После того, как в 1975 году Мандельброт опубликовал свою основополагающую работу о фракталах, одно из первых практических применений появилось в 1978 году, когда Лорен Карпентер захотел создать несколько сгенерированных компьютером гор. Используя фракталы, которые начинались с треугольников, он создал удивительно реалистичный горный хребет. В 1990-х годах Натан Коэн, вдохновленный снежинкой Коха, создал более компактную радиоантенну, используя только проволоку и плоскогубцы. Сегодня антенны в сотовых телефонах используют такие фракталы, как губка Менгера, фрактал Вичека и фракталы, заполняющие пространство, как способ максимизировать мощность восприятия при минимальном объеме пространства. Примеры фракталов в природе Капуста сорта «романеско» Романеско она же романская брокколи — итальянский сорт капусты. Внешний вид этого растения напоминает природный фрактал: каждый бутон вбирает в себя бутоны поменьше.
А они, в свою очередь, тоже принимают облик логарифмической спирали. Это «повторение за самим собой» воспроизводится несколько раз. По понятным причинам этот природный фрактал прекращается на более мелких уровнях: иначе цены бы не было этой «бесконечной капусте». Так выглядит природный фрактал — капуста сорта романеско: только посмотрите на её причудливую форму! Поэтому королевская бегония пользуется популярностью благодаря своим листьям. Они тоже имеют структуру фрактала. Иногда листья образуют спирали — поэтому это необычное растение привлекает взгляд.
Главное — не дать бегонии себя загипнотизировать! Природный фрактал может даже жить у вас на подоконнике: например, комнатная королевская бегония — отличный вариант nashzelenyimir. Да, здесь нет ничего самоподобного. Но если разрезать кочан напополам, вы увидите удивительный узор-спираль. Не один вид капусты стремится к такой математической форме — может, эти растения сговорились и планируют фрактальный захват мира? Красная капуста в разрезе тоже напоминает фрактальное подобие floweryvale.
Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии.
Один из таких любителей по имени Натан Коэн Nathan Cohen после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью. Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха».
Шведский математик Хельге фон Кох Helge von Koch придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто. Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.
Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными. В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны. Пятая глава книги «Фрактальная геометрия природы» посвящена, на первый взгляд, довольно простому вопросу: «Какова длина береговой линии Британии? Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера. Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы.
Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно?
Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности. Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа. На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность. Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем.
Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений. В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений.
И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия. В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию.
Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.
Ему была большая оппозиция: такого рода объекты в научной литературе часто назывались «монстрами», к ним скептически относились. В классической евклидовой геометрии все прямо: либо прямые, либо углы, либо, в крайнем случае, какие-то гладкие линии. Там нет непонятных вещей, которые бы постоянно себе отращивали новое «ухо». Несмотря ни на что Мандельброт сумел «продвинуть» свои исследования.
Более того, всему этому нашлось практическое применение. Множество Мандельброта Почему их называли «монстрами»? Это плохо, так как наш мозг привык работать с визуальными картинками. С появлением компьютера мы с грехом пополам начали справляться с задачей отрисовывания фракталов. Во-вторых, вычислительные методы, которые нам были раньше известны матанализ и так далее , хорошо работали только с «гладкими» кривыми. Все кривые делятся на два больших класса: спрямляемые и неспрямляемые.
На спрямляемую кривую мы можем поставить точки, и тем самым разбить ее на множество прямых отрезков. Таким образом мы посчитаем длину этой кривой, так как длина традиционно считается только прямыми отрезками. Это как в школе, когда к сложным фигурам прикладывали нитку, а потом нитку распрямляли и прикладывали к линейке. Вся классическая математика связана с таким вот свойством. К фракталам, как мы видим, ниточку не доприкладываешься. С точки зрения классической механики, также возникают проблемы в взаимодействии с фракталами.
Скорость — это вектор. У вектора должны быть направление и величина. Если мы погоним точку по любой неспрямляемой кривой, то мы увидим, что у ее скорости не будет ни направления, ни величины.